Una función,
en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia
entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en
1637 por el matemático francés René Descartes para
designar una potencia xn
de la variable x.
En 1694 el matemático
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios
aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más
generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G.
Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo
que representa un número dentro de un conjunto de ello.
Dos variables X
y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a
X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un
valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que
se asignan libremente valores ,
se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores
dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos
de X constituyen el dominio de
definición de la función y los valores que toma Y constituye su
recorrido".
Una función es una
regla de correspondencia entre dos conjuntos de
tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un
elemento del segundo conjunto.
Al
primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.
Al
segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen .
Una función se puede
concebir también como un aparato de calculo La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son
en sí la función y la salida sería el contradominio.
Esta forma de
concebir la función facilita el encontrar su dominio.
Notación: al número
que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra,
digamos 
o 
o cualquier
otra.
o o cualquier
otra.
Al número que
"sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x)
Una
relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia
entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable
dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.
Una
relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano
AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo
elemento de A exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a))
relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se
dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) esta en la relación.
Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a)
está en la relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la
relación, a=b y transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la
relación, (a, c) esta en la relación.
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